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基于比边缘负荷理论的等距直齿磨片齿型参数设计的研究

刘欢 ^1,2
董继先 ^1,2
郭西雅 ^1,2,3
蒋小军 ⁴
罗冲 ⁵
田晓辉 ⁵
王博 ^1,2
赵志明 ^1,2
杨瑞帆 ^1,2

1. 陕西科技大学机电工程学院，陕西西安，710021； 2. 中国轻工业装备制造智能化重点实验室，陕西西安，710021； 3. 陕西科技大学设计与艺术学院，陕西西安，710021； 4. 南通华严磨片有限公司，江苏南通，226403； 5. 河南卷烟工业烟草薄片有限公司，河南许昌，461100

中图分类号： TS734⁺.1

最近更新：2019-10-31

DOI：10.11980/j.issn.0254-508X.2019.10.007

摘要

直齿磨盘在制浆过程中应用十分广泛，但没有统一的设计方法。本课题在广泛研究现有直齿磨盘及前人研究的基础上，基于比边缘负荷理论（SEL）提出了等距直通齿磨盘及等距环形多级分区直齿磨盘的设计方法，对于直齿磨盘的参数化高效设计具有积极意义。

关键词

盘磨机; 磨浆强度; 齿型; 比边缘负荷理论

直齿磨盘是磨浆过程最典型、应用最广泛的磨盘，其齿型设计灵活多变基本能满足各种浆料情况的磨浆过程。由于其设计没有统一的标准与理论依据，直齿磨盘的设计大多靠经验，其齿型设计合理与否直接影响浆料在磨区的流动、磨浆质量及能耗^[

1]。直齿磨盘的设计理论与标准的研究直接影响其应用、对特定浆种的个性化设计及高效率低能耗磨片的开发，因此对其研究具有积极意义。

磨浆强度是衡量磨浆过程强弱的关键指标，而同等磨浆条件下，磨浆强度的大小取决于磨浆强度表征参数，又称磨齿综合表征参数，其综合表征反映磨盘对浆料施加冲击的能力^[

1]。磨浆强度表征参数主要有基于磨齿边缘长度（CEL）的表征参数及基于磨齿交错的表征参数，而在磨齿设计中磨齿边缘长度由于其简单、高效、能够较好地衡量磨浆过程的强弱，因此应用比较广泛。

本课题基于比边缘负荷（SEL）理论，对典型直齿磨盘设计方法进行了探讨，该研究有利于直齿磨盘的便捷设计及高效低能耗磨片的开发。

1 直齿磨盘简介

直齿磨盘在磨区内所有磨齿均为直齿，主要有放射型直齿及等距直齿。放射型直齿磨盘磨齿沿圆周方向放射分布，导致位于内侧的磨齿相对集中，而外侧的齿槽相对分散，降低了磨盘磨区的利用率^[

2]；而等距直齿磨盘磨齿等距排列，通过对单组齿型进行阵列而得，保证了同区磨齿及沟槽宽度一致，且其设计具有规律性，在实际中应用较为广泛。等距直齿磨盘主要有等距直通齿磨盘和等距多级分区直齿磨盘，常见的等距多级分区直齿磨盘有二级和三级，且以三级较为多见。其示意图如图1所示。

图1 等距直齿磨盘分类

等距直齿磨盘重要的齿型参数有磨盘内径、磨盘外径、齿宽、沟槽宽度、齿高及磨齿倾角，其中磨齿倾角的定义有两种，如图2所示。定义一，表示单组磨齿中磨齿与组边缘半径方向所夹锐角为α ₁，见图2（a）；定义二，表示单组磨齿中心线与磨齿的夹角为α ₂，见图2（b）。若已知单组磨齿圆心角为β，则α ₁及α ₂存在式(1)的关系：

$α_{2} = α_{1} + β / 2$

（1）

图2 直齿磨盘磨齿倾角的两种定义

因此，实际设计中多采用定义一为实际磨齿倾角。

2 比边缘负荷（SEL）理论

Wultsch等人^[

3]考虑到盘磨机磨齿的数量、磨齿平均长度及磨盘转速提出“pezifische Kantenbelastung（比边缘负荷）”，用以衡量磨浆的强度，其为比边缘负荷（SEL）理论的雏形。Brecht等人^{[参考文献 4
Google Scholar 百度学术}4]提出磨齿切断长度（CEL），对前者进行改进提出了比边缘负荷理论，用以表示单位磨齿长度所消耗的能量，其定义为式（2）：

$S E L = \frac{P_{n e t}}{n \cdot C E L}$

(2)

式中，SEL为比边缘负荷，J/m；P _net为磨浆净功率，kW；n为盘转速，r/min；CEL为磨齿切断长度，km/r。

CEL为SEL的核心部分，表示磨盘对浆料冲击的有效磨齿长度，综合表征磨齿对浆料的冲击性能，其计算方法^[

5,6]为式（3）：

$C E L = \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{n_{r} \cdot n_{s}}{c o s α_{2}} d r$

(3)

式中，r ₁为磨盘内径，mm；r ₂为磨盘外径，mm；n _r为半径r处的动磨盘齿数；n _s为半径r处的定磨盘齿数；α ₂为定义二所定义的磨齿倾角。

3 基于比边缘负荷（SEL）的等距直通齿磨盘设计

3.1　明确设计条件

磨浆过程磨盘的设计条件主要有浆料性能参数、目标纤维长度及打浆度、盘磨机主要结构及运行参数。处理浆料性能参数包括浆料种类、纤维平均长度等，用以对比目标纤维长度及打浆度进而确定合理的磨（打）浆方式；盘磨机主要结构及运行参数包括磨浆功率P _t（kW）、磨盘转速n（r/min）、磨盘外径r ₂（mm）及磨盘内径r ₁（mm）。

3.2　磨盘磨齿的分组设计

由于等距直齿磨盘自身几何条件的限制以及制造的要求，等距直齿磨盘通常采用分组阵列排布，如图3所示。分组的数量通常用单组磨齿对应圆心角β确定。

图3 磨盘的分组

根据经验，通常磨区所有直齿倾角一般为10°~20°^[

7]，也有文献记载为15°~20°^{[参考文献 8
Google Scholar 百度学术}8]，因此单组磨齿圆心角β可通过组内直长齿区域内首末边线倾角计算得出，实际过程中为保证磨区所有磨齿均在以上范围内，用于磨浆的磨盘直长齿区域末边线倾角应为15°~18°，其他用途磨盘可根据实际情况设定。

图4为分组磨片圆心角β的计算。如图4所示，直长齿区域首末边线与半径方向夹角为α _o及α _m，则γ可表示为式（4）：

图4 分组磨片圆心角β的计算

$γ = α_{m} - α_{o}$

(4)

已知OC=r ₂、OD=r ₁，根据正弦定理式 $∠ E O C$ 的计算见式（5）：

$∠ E O C = 180 ° - a r c s i n \frac{r_{2} \cdot s i n α_{m}}{r_{1}}$

(5)

因此，单组磨齿圆心角β计算见式（6）：

$β = a r c s i n \frac{r_{2} \cdot s i n α_{m}}{r_{1}} - α_{o}$

(6)

直齿磨盘理论分组数N _c为（360°/β），为了设计便捷，通常取计算值的临近整数值作为最终磨盘分组数量N。

3.3　合理确定磨齿切断长度

不同浆料及不同打浆方式的SEL适宜值是不同的，可参考文献［

9］。根据处理浆料的性能参数确定磨（打）浆方式，选取适宜的SEL值范围，一般为k ₁~k ₂（J/m），理论上讲选取范围内任意值即可，为了使得设计参数便于调整，一般可选取中间值SEL₀=(k ₁＋k ₂)/2（J/m）。

而磨齿切断长度CEL可根据式（3）确定，单组磨齿切断长度CEL _s 为式（7）：

$C E L_{s} = \frac{P_{n e t}}{2 n \cdot S E L_{0} \cdot N^{2}}$

(7)

式中，磨浆净功率P _net可通过式(8)计算：

$P_{n e t} = P_{t} - P_{n}$

(8)

式中，P _n为空载功率，kW；P _t为总功率，kW。

盘磨机的空载功率约占电机总功率的20%~35%，P _n可通过实际过浆大间隙磨浆条件获得，为了简化设计过程，通常可取30%左右。

3.4　磨齿齿型参数的设计

（1）沟槽及磨齿参数的确定

磨区是由磨齿及沟槽相间分布产生的狭小沟槽区域，磨齿对纤维施加冲击作用，而沟槽为纤维的转移和释放、水及蒸汽的周边转移提供了条件。因此，沟槽与磨齿参数的合理设计直接影响磨浆强度进而影响磨浆效果。

根据文献[

8]的报道，对于浓度为3.5%~4.5%的针叶木浆进行低浓磨浆，其齿型参数一般如表1所示，且磨齿沟槽的宽度为纤维平均长度的2~3倍。Leask等人^{[参考文献 10
Google Scholar 百度学术}10]的研究指出沟槽宽度应小于纤维的长度；Kurdin^{[参考文献 11
Google Scholar 百度学术}11]的研究表明沟槽的宽度对纤维质量有直接影响，较窄的沟槽会迫使浆料进入磨区接受进一步的磨浆作用。在设计过程中应根据浆料种类合理设计磨齿及沟槽参数，尽量使得齿宽及槽宽之比≤1，在齿高的设计上，对于阔叶木磨浆可略高些，而针叶木浆可低些^{[参考文献 7
Google Scholar 百度学术}7]。

表1 磨齿设计参数

齿型参数	设计参数
齿型参数	针叶木浆	阔叶木浆
齿宽b/mm	3.0~5.5	2.0~3.5
槽宽g/mm	5~7	3~4
齿高h/mm	一般为齿宽的1~2倍，5.5~7.5

（2）直长齿区域齿数确定

图5为直长齿齿数r的设计。如图5所示，区域ABDC为直长齿区域，BF为AB与DC之间的距离。经式（9）计算得出BF的长度：

$B F = r_{1} \sqrt[]{2 (1 - c o s ∠ D O B)} \cdot s i n ∠ C D B$

(9)

图5 直长齿齿数的设计

式中，

$∠ D O B = β - 180 ° + α_{o} + a r c s i n \frac{r_{2} s i n α_{o}}{r_{1}}$ ，

$\begin{array}{l} ∠ C D B = a r c s i n \frac{r_{2} s i n α_{m}}{r_{1}} + \frac{1}{2} a r c s i n \frac{r_{2} s i n α_{o}}{r_{1}} - \\ α_{m} - 180 ° + \frac{1}{2} (β + α_{o}) \end{array}$ 。

若根据设计条件所得磨齿宽度为b，沟槽宽度为g，则单组磨齿直长齿齿数为BF/(b+g)，根据实际数据取临近整数值N _z，并对实际齿型参数作微调整，最终实际直长齿数量为N _z±1。

（3）短齿区域齿数确定

从图5还可以看出，区域EDC为短齿区域，EG为点E到DC的距离，经式（10）计算EG：

$E G = (r_{2} - r_{1}) s i n (180 ° + α_{m} - a r c s i n \frac{r_{2} s i n α_{m}}{r_{1}})$

（10）

则单组磨齿短齿齿数为GE/(b+g)，根据实际数据取临近整数值N _z。

（4）齿型验证与修正

齿型的验证实际是根据以上排布的磨齿进行磨齿切断长的计算，其计算方法见文献［

7］，简化公式为式（11）：

$C E L_{i} = \frac{n_{s i} \cdot n_{r i} \cdot Δ r_{i}}{c o s α_{0}}$

(11)

式中，n_si 、n_ri 表示环形间隔内动盘及定盘磨齿的数量，Δr_i 表示环形间隔半径差，CEL _i 表示环形间隔内磨齿切断长。

若其结果与式（7）计算所得相差较大，可对短齿区域或直长齿最右侧区域进行增减短磨齿，保证磨齿切断长较为合理。

4 基于比边缘负荷（SEL）的等距环形分区直齿磨盘设计

等距分级直齿磨盘的设计同样要明确设计条件，对磨盘进行分组并计算单组磨齿切断长，此过程可参照直通齿磨盘的设计，其他步骤如下。

4.1　磨区环形分区

对于一段磨浆或高浓磨浆过程而言，磨盘存在明显的破碎区、粗磨区及精磨区^[

10]，破碎区对木片或纤维起破碎作用，且磨齿较为稀疏有利于浆料的喂入，而粗磨区及精磨区对纤维进行磨浆作用，精磨区磨齿排布较为密集且磨齿较窄。对于高浓磨浆而言，为了保证浆料的喂入，三区存在不同的磨盘梯度，而对于低浓磨浆过程不必考虑。

对于低浓磨浆来说，典型的环形分区数为二区及三区如图6所示。为了保证浆料的质量及磨浆效率，经统计，三级分区占比不少于60%，一级分区占比不大于20%，实际设计过程应在合理范围内进行设计。

图6 典型环形分区磨片

本设计以等距环形三分区直齿磨盘为例介绍其设计方法，其中一级、二级及三级分区所占比为z ₁、z ₂及z ₃，长度分别为z ₁(r ₂-r ₁)、z ₂(r ₂-r ₁)、z ₃(r ₂-r ₁)。

4.2　磨齿齿型参数设计

（1）齿宽及槽宽的确定

对于环形分区磨片，分区磨齿宽度沿径向逐渐减小，对于一级分区来说，齿宽为8~16 mm，槽宽为16~32 mm；对于二级分区，齿宽为2~4 mm，槽宽为3~5 mm；而对于三级分区磨齿，其宽度根据工艺需要及制造技术可达1~1.5 mm^[

12]。实际设计磨片齿型参数可综合以上数据及表1，选择适宜的参数。

本设计中三级分区磨齿宽度为b ₃，槽宽为g ₃；二级分区磨齿宽度为b ₂，槽宽为g ₂。

（2）三级分区磨齿数量的计算

设一级、二级及三级分区磨齿的倾角均为α ₀，三级分区直长齿磨齿长度约为z ₃(r ₂-r ₁)/cosα ₀，DE为三级分区左边缘顶点到本区第一条磨齿边线的距离，如图7所示，其计算方法与上述基本一致，见式（12）：

$D E = r_{1} s i n (α_{0} + β) \cdot [1 - s i n α_{0} \cdot s i n (α_{0} + β)]$

(12)

图7 三级分区磨齿数量计算

由式（12）及磨齿齿宽及齿槽可计算三级分区磨齿数量为DE/(b ₃+g ₃)，为便于等分，所计算的齿数应取临近整数为N ₃。

（3）一级及二级分区磨齿数量的计算

如图6（a）所示，一些环形三级分区磨片为了设计简便，通常将二级分区磨齿间隔延伸至磨区内径，因此一级分区磨齿的数量为二级的1/2。

经计算二级及一级分区磨齿长度约为z ₂(r ₂－r ₁) $c o s α_{0}^{}$ 及z ₁(r ₂－r₁ )/ $c o s α_{0}^{}$ ，根据式（10）计算三级分区内磨齿切断长为CEL₃，则二级及一级分区磨齿切断长之和为式（13）：

$C E L_{1 + 2} = C E L_{S} - C E L_{3}$

(13)

二级分区磨齿数量计算值N _2L为式（14）：

${N_{2}}_{L} = \sqrt[]{\frac{C E L_{1 + 2} \cdot c o s α_{0}}{z_{2} \cdot (r_{2} - r_{1}) + 1 / 2 \cdot z_{1} \cdot (r_{2} - r_{1})}}$

(14)

同理，二级分区磨齿数量应临近取整数值N ₂，则一级分区齿数即可求出。

若为一般环形三级分区磨片，一级及二级分区磨齿应单独设计，二级分区磨齿数量理论计算方法与三级类似，理论计算值为式(15)：

${N_{2}}_{L} = \sqrt[]{\frac{s i n (α_{0} + β) \cdot A}{b_{2} + g_{2}}}$

(15)

式中，

$A = [r_{2} + (r_{2} - r_{1}) (z_{2} + z_{1})] [1 - s i n α_{0} \cdot s i n (α_{0} + β)]$

二级分区磨齿数量根据计算值临近取整数值N ₂，根据实际排布磨齿计算二级分区内磨齿切断长为CEL₂。

由此可得三级分区磨齿切断长为式（16）：

$C E L_{1} = C E L_{S} - C E L_{2} - C E L_{3}$

(16)

一级分区磨齿数量计算值N _1L为式（17）：

${N_{1}}_{L} = \sqrt[]{\frac{C E L_{1} \cdot c o s α_{0}}{z_{1} \cdot (r_{2} - r_{1})}}$

(17)

一级分区磨齿数量根据计算值临近取整数值N ₁，根据设计要求选取一级分区齿宽为b ₁，槽宽为g ₁。

三区磨齿全部设计完成后应计算磨齿切断长是否满足要求，若计算值与设计值差别较大，应做调整。

5 结论

本课题基于比边缘负荷（SEL）理论对等距直通齿磨盘及等距环形多级分区直齿磨盘的齿型参数设计进行了研究。

5.1 设计条件的明确是在直齿磨盘齿型参数设计的基础，通过设计条件合理选择磨浆强度SEL的值，计算磨齿磨齿切断长CEL是设计直齿磨盘的核心任务，对于其设计效果至关重要。

5.2 为了保证磨盘良好的磨浆效果及效率，需要对磨盘磨齿进行分组，分组数量主要与磨盘内径、外径、直长齿的首末边线倾角直接相关。

5.3 对于等距直通齿磨盘而言，通过合理设计齿宽、槽宽及磨齿倾角，确定直长齿区域及短齿区域的磨齿数量，并对其切断长进行验证以满足设计要求。

5.4 对于等距环形多级分区直齿磨盘，需对磨盘进行合理分区并根据工艺要求及SEL合理设计三区磨齿参数，最后对三区磨齿切断长进行校对验证。

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